EVENTO
Aplicações da Transformada de Fourier no Mercado de Renda Fixa
Tipo de evento: Exame de Qualificação
A transformada de Fourier é uma ferramenta que tem encontrado uso generalizado em matemática, probabilidade, física e engenharia. Então não é surpresa que tenha sido também útil na área de finanças, mais especificamente na precificação de opções, sejam subjacentes ao mercado de ações ou renda fixa. Heston (1991) introduziu o método da inversão da transformada de Fourier para precificar uma opção Europeia no qual o ativo subjacente segue um modelo com volatilidade estocástica. Ficou demonstrado que este método é versátil na obtenção de fórmulas quase-analíticas para uma variedade de problemas de precificação de opções mais difíceis. Por exemplo, este método pode ser usado para valorar opções onde o preço do ativo subjacente inclui saltos e a volatilidade é estocástica (e.g., Jianwei Zhu (2010)). Além disso, tem vantagens numéricas. Por exemplo, no cenário de renda fixa, independentemente do número de fatores no modelo subjacente, o método da inversão da transformada de Fourier só necessita do cálculo de uma integral numérica unidimensional.O mercado de renda fixa é um setor do mercado financeiro no qual vários instrumentos (derivativos) sensíveis à taxa de juros, tais como bonds, swaps, swaptions, caps, bond options etc. são negociados. Não há dúvida que o gerenciamento do risco das taxas de juros, ou seja, precificar e fazer hedge de produtos de taxas de juros, é uma questão importante.Um ativo-objeto importante no mercado de renda fixa no Brasil é o IDI (Índice de depósitos interbancários). O IDI é um índice atualizado e publicado diariamente com base na taxa media das transações interbancárias de overnight, como preconizado pela BM&FBovespa. Um derivativo standard negociado na BM&FBovespa é a opção IDI, que é uma opção dependente da trajetória do IDI. A opção IDI é um objetivo importante de nosso trabalho de pesquisa.Visando esse objetivo começamos estudando o preço de um bond option resolvido analiticamente via medida risco neutro (veja, e.g., o trabalho pioneiro de Jamshidian (1989), e Piotrowski, E; Schroeder, M; Szczypińska, A. (2008)). Também estudamos o preço desta mesma opção usando o método da inversão da transformada de Fourier (veja, e.g., Nawalkha, S.K., Beliaeva, N. A., Soto, G. M. (2007)). Em seguida estudamos o problema de precificação de uma opção IDI, resolvido analiticamente via medida risco neutro por Vieira, C. A. e Pereira, P. L. (2000). Também obtivemos um resultado independente resolvendo esta mesma opção pelo método da inversão da transformada de Fourier. Um ponto importante na abordagem na opção IDI acima é a atualização continua do IDI que é uma idealização para se conseguir uma solução fechada para o preço da opção. Não entanto o IDI tem atualização discreta como preconizado na pratica pela BM&FBovespa. No trabalho de da Silva, A. J.; Baczynski, J. e Vicente, J. V. (2015) os autores assumiram essa atualização discreta e resolveram numericamente o preço da opção IDI via EDP.Nossa proposta tem como objetivo precificar a opção IDI quando se considera a atualização discreta do IDI usando o método da inversão da transformada de Fourier. Pois, como falamos no inicio, este método obtém fórmulas quase-analíticas e é computacionalmente competitivo com métodos via EDP.O método de inversão pode também ser usado para valorar opções onde o ativo subjacente inclui saltos e volatilidade estocástica o que, via EDP, torna-se mais complicado numericamente devido ao aumento de dimensionalidade do problema. Assim, nosso trabalho envolverá novos desenvolvimentos da formulação matemática e métodos computacionais.Bibliografia:1) Heston, S. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility withapplications to bond and currency options, Rev. Financ. Stud., Vol. 6, pp. 327343.2) Jianwei Zhu. Aplications of Fourier Transform to Smile Modeling: Theory and implemtation. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010.3) Jamshidian (1989). An exact bond option pricing formula. J. Finace 44, 205-209.4) Piotrowski, E; Schroeder, M; Szczypińska, A.. The price of bond and European option on bond without cridit risk: Clasical look and its quantum extension. http://arxiv.org/pdf/0803.4282.pdf 2008.5) Nawalkha, S. K., Beliaeva, N. A., Soto, G. M.. Dynamic Term Structure Modeling: The fixed Income Valuation Course. John Wiley & Sons, Inc Hiboken New jersey 2007.6) Vieira, C. A. and Pereira, P. L.. Closed form formula for the price of the options on the 1 day brazilian interfinancial deposits index IDI1. In: Annals of the XXII Meeting of the Brazilian Econometric Society, volume 2, Campinas, Brazil, 2000.7) da Silva, A. J.; Baczynski, J. e Vicente, J. V.. A New Finite Difference Method for Pricing and Hedging Fixed Income Derivatives: Comparative Analysis and the Case of an Asian Option. Submitted to the Journal of Computational and Applied Mathematics.
Data Início: 24/11/2015 Hora: 10:00 Data Fim: 24/11/2015 Hora: 14:00
Local: LNCC - Laboratório Nacional de Computação Ciêntifica - Auditorio B
Aluno: Juan Bladimiro Rodriguez Otazú - LNCC -
Orientador: Jack Baczynski - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC
Participante Banca Examinadora: Gustavo Alberto Perla Menzala - LNCC/UFRJ - LNCC Marcos Garcia Todorov - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC Renato Portugal - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC
